دانشکده ی علوم ریاضی احتمال و کاربردا ن ۴ اسفند ۹۲ جلسه ی : چند مثال مدر س: دکتر شهرام خزاي ی نگارنده: مهدی پاک طینت (تصحیح: قره داغی گیوه چی تفاق در این جلسه به بررسی و حل چند مثال از مطالب جلسات گذشته خواهیم پرداخت. مثال ۱ کیسه ای شامل ۱۰ جفت کفش است. لنگه را به تصادف بیرون می ا وریم. احتمال این که هیچ دو تایی از این لنگه ها با هم جفت نباشند چه قدر است پاسخ مجموعه ی ده جفت کفش را به صورت S {L ۱, R ۱, L ۲, R ۲,, L ۱۰, R ۱۰ } نشان می دهیم که در ا ن R i و L i لنگه های سمت راست و چپ کفش i ام می باشند. فضای نمونه ای شامل تمام انتخاب های لنگه کفش از میان این ۲۰ لنگه کفش است. به دو صورت می توان ا زمایش بیرون کشیدن پنج لنگه کفش را انجام داد. انتخاب یکی یکی پنج لنگه و انتخاب یک باره پنج لنگه. فضای نمونه ای برای این دو مدل متفاوت است. برای روش اول فضای نمونه ای به صورت زیر است: Ω {ω (ω ۱, ω ۲, ω ۳, ω ۴, ω ω i S (۱ i, ω i ω j (۱ i < j } به عبارت دیگر Ω مجموعه ی تمام بردارهای پنج عضوی با عناصر متمایز از اعضای مجموعه S می باشد. به طور شهودی هیچ یک از برا مدهای فضای نمونه ای مزیتی بر دیگری ندارد. بنابراین با یک فضای نمونه ای هم شانس مواجه هستیم. پس برای محاسبه احتمال هر پیشامدی کافی است حاصل تقسیم تعداد اعضای ا ن پیشامد بر تعداد اعضای فضای نمونه ای را بیابیم. برای شمارش تعداد اعضای فضای نمونه ای می دانیم برای انتخاب اولین کفش ۲۰ انتخاب برای دومین کفش ۱۹ انتخاب و به همین ترتیب برای پنج امین کفش ۱۶ انتخاب داریم. پس: Ω ۲۰ ۱۹ ۱۸ ۱۷ ۱۶ همچنین برای شمارش تعداد اعضای پیشامد مورد نظر که با A نشان می دهیم می دانیم برای انتخاب اولین کفش ۲۰ انتخاب و برای دومین کفش ۱۸ انتخاب داریم (چون لنگه دوم کفش انتخاب شده را نمی توانیم انتخاب کنیم و به همین ترتیب برای پنج امین کفش ۱۲ انتخاب داریم. پس: A ۲۰ ۱۸ ۱۶ ۱۴ ۱۲ Pr (A A ۲۰ ۱۸ ۱۶ ۱۴ ۱۲ Ω ۲۰ ۱۹ ۱۸ ۱۷ ۱۶ ۱۶۸ ۳۲۳ ۰ ۲ در روش دیگر همه لنگه کفش به طور همزمان انتخاب می شوند. در این حالت فضای نمونه ای Ω به صورت زیر تعریف می شود: Ω {ω {ω ۱, ω ۲, ω ۳, ω ۴, ω } ω i S (۱ i, ω i ω j (۱ i < j } به عبارت دیگر Ω مجموعه ی تمام زیرمجموعه های پنج عضوی S می باشد و مشابه حالت قبل برا مدهای ا ن هم احتمال هستند. -۱
در این صورت تعداد اعضای فضای نمونه ای برابر تعداد راه های انتخاب لنگ کفش از میان ۲۰ لنگه کفش خواهد بود پس: Ω ( ۲۰ همچنین تعداد اعضای پیشامد مورد نظر A برابر تعداد راه های انتخاب جفت کفش از میان ۱۰ جفت و انتخاب یک لنگه از هر جفت انتخاب شده است. پس: Pr ( A A A Ω ( ۱۰ ۲ ( ۱۰ ۲ ۱۶۸ ۳۲۳ ( ۲۰ نکته ۱ در مثال ۱ با مقایسه ی دو فضای نمونه ای Ω و Ω مشاهده می کنیم که هر برا مد Ω {ω ۱, ω ۲, ω ۳, ω ۴, ω } متناظر با! برا مد از Ω است که از جایگشت دادن ω i ها به دست ا مده اند. نکته ۲ فرض کنید n عدد توپ شماره گذاری شده داریم که می خواهیم این تعداد توپ را بین k نفر تقسیم کنیم به صورتی که به نفر اول n ۱ توپ به نفر دوم n ۲ توپ... به نفر ۱ k ام ۱ k n توپ و به نفر k ام n k توپ برسد به ( ( ( n n n۱ n n۱ n ۲ n ۱ n ۲ n ۳ n ۱ + n ۲ +... + n k n... n k طوری که: تعداد حالت های ممکن برای این کار برابر است با: ( n n۱ n ۲... n k ۱ n! n ۱!n ۲! n k! مثال ۲ در بازی حکم احتمال این که هر بازیکن دقیقا یک تک دریافت کند چه قدر است (این بازی متشکل از چهار بازیکن است که به هر کدام به صورت تصادفی کارت داده می شود پاسخ فضای نمونه ای در این مساله شامل تمام حالات توزیع ۲ کارت میان چهار نفر به طور مساوی است. به طور دقیق تر فضای نمونه ای را می توان به صورت زیر نمایش داد: Ω {ω (S ۱, S ۲, S ۳, S ۴ S i 's partition cards set and S i } در این مثال نیز یک فضای نمونه ای هم شانس داریم. بنابر نکته ۱ تعداد اعضای فضای نمونه ای برابر است با: ۲! Ω!!!! پیشامد موردنظر را می توان به صورت زیر نمایش داد: A {ω (S ۱, S ۲, S ۳, S ۴ S i 's partition cards set, each contains an ace and S i } برای شمارش تعداد اعضای پیشامد مورد نظر ابتدا تک ها را کنار می گذاریم و بقیه ۴۸ کارت را پخش می کنیم. سپس ۴ تک باقی مانده را بین ۴ نفر تقسیم می کنیم. پس: ۴۸! A ۴! ۱۲! ۱۲! ۱۲! ۱۲! Pr(A A Ω ۰ ۱-۲
مثال ۳ در بازی حکم احتمال این که یک بازیکن همه پیک را دریافت کند چقدر است پاسخ پیشامد اینکه همه ی پیک به نفر i ام برسد را S i در نظر می گیریم که,۱,۲,۳ ۴ i. هم اکنون می خواهیم i Pr(S را محاسبه کنیم. برای این منظور مسي له را به صورت زیر مدل می کنیم. ۲ ورق داریم و تا از ا ن ها را به تصادف انتخاب می کنیم و به نفر i ام می دهیم. پس تعداد اعضای فضای نمونه ای Ω برابر تعداد زیرمجموعه های عضوی از یک مجموعه ی ۲ عضوی است. بنابراین: ( ۲ Ω و اگر S i را پیشامد مطلوب بنامیم ا ن گاه ۱ i S و چون فضای نمونه ای هم شانس است داریم: Pr(S i A Ω ( ۱ ۲ ( ۲ پس چون S i ها مجزا هستند در نتیجه احتمال مورد نظر برابر است با: Pr(S ۱ S ۲ S ۳ S ۴ Pr(S ۱ + Pr(S ۲ + Pr(S ۳ + Pr(S ۴ ۴ ۱ ۶ ۳ ۱۰ ۱۲ مثال ۴ اگر یک دسته کارت به طور کامل بر زده شود احتمال این که هر ۴ کارت تک پشت سر هم قرار گیرند چقدر است پاسخ فضای نمونه ای شامل همه جایگشت های ۲ کارت است. پس: Ω ۲! برای شمارش تعداد اعضای پیشامد مورد نظر ابتدا چهار کارت تک را یکی در نظر می گیریم و تعداد جایگشت ها را حساب کرده و در تعداد جایگشت های خود این چهار کارت در بین خودشان ضرب می کنیم. پس: A ۴۹! ۴! چون فضای نمونه ای همشانس است پس: Pr {A} A Ω ۴۹!۴! ۲! مثال سکه سالمی را ۱۰۰ بار پرتاب می کنیم. احتمال این که دقیقا ۰ بار شیر بیاید چقدر است پاسخ فضای نمونه ای متشکل از تمام دنباله های به طول ۱۰۰ است که هر مولفه ی ا ن شیر یا خط می باشد. به بیان دقیق تر: Ω {H, T } ۱۰۰ و چون هر مولفه ی دنباله دو حالت دارد بنابر اصل ضرب تعداد کل دنباله ها برابر ۲ ۱۰۰ Ω می باشد. پیشامد اینکه دقیقا i بار شیر بیاید را A i در نظر می گیریم. در نتیجه هر عضو A i متناظر با یک زیرمجموعه ی i عضوی از مجموعه ای صد عضوی است پس: ( ۱۰۰ A i i به طور حسی i Pr(A ۰ Pr(A برای,... ۱۰۰,۲,۱ i (بعدا خواهید توانست این موضوع را به طور دقیق ثابت کنید. پس داریم: چون فضای نمونه ای همشانس است پس: ۱۰۰ Pr i۰ A i ۱ Pr (A ۰ ۱ ۱۰۱-۳
Pr (A ۰ A ۰ Ω ( ۱۰۰ ۰ ۲ ۱۰۰! ۱۰۰ ۰! ۰! ۲ ۱۰۰ محاسبه مقدار دقیق عدد بالا کار دشواری است اما می توان با استفاده از فرمول استرلینگ مقدار تقریبی عدد بالا را به دست ا ورد. تقریب استرلینگ به صورت زیر است: n! ۲πn( n e n Pr (A ۰ ۱۰۰! ۰! ۰! ۲ ۱ ۰ ۰۸ ۱۰۰ ۰π پس داریم: مثال ۶ احتمال مشاهده زیر دنباله HT در پرتاب ۱۰۰ سکه سالم چقدر است (H نماینده رخداد شیر و T نماینده رخداد خط است A c { پاسخ فضای نمونه ای مانند مثال است. ابتدا احتمال عدم مشاهده HT را محاسبه می کنیم: H ۱۰۰, T H ۹۹, T ۲ H ۹۸,..., T ۹۹ H, T ۱۰۰} Pr (A c A Ω ۱۰۱ پس : ۱۰۰ ۰ ۲ Pr(A ۱ Pr (A c ۱ ۱۰۱ ۲ ۱۰۰ ۱ مثال ۷ احتمال مشاهده دنباله HH در پرتاب ۱۰۰ سکه چقدر است پاسخ فضای نمونه ای مانند مثال است. ابتدا احتمال عدم مشاهده HH را محاسبه می کنیم. a n را تعداد دنباله های به طول n در نظر می گیریم که HH ندارند. پس: n ۱ ۲ ۳ ۴... a n ۲ ۳ ۸... سعی می کنیم دنباله ای بازگشتی برای a n بیابیم. برای محاسبه a n دو حالت در نظر می گیریم: در پرتاب اول خط بیاید که در این صورت برای ۱ n پرتاب بعدی جواب برابر ۱ n a خواهد بود. در پرتاب اول شیر بیاید که در این صورت باید حاصل پرتاب دوم برابر خط باشد و برای ۲ n پرتاب بعدی جواب برابر ۲ n a خواهد بود. پس داریم: a n a n ۱ + a n ۲ چون ۲ ۳ a ۱ f و ۳ ۴ a ۲ f که f n همان دنباله ی فیبوناتچی است پس نتیجه می شود: a n f n+۲ a n f n+۲ ( ۱+ n+۲ ۲ ۱ ۱۷ (۱ ۶۲ n پس احتمال مشاهده HH در n بار پرتاب سکه تقریبا برابر است با: که برای n های بزرگ تقریبا برابر یک است. ۸۱ n (۰ ۱۷ ۱ ۱ مثال ۸ فرض کنید پنج عدد پاکت قرمز و پنج عدد پاکت سبز داریم. همچنین پنج عدد کارت قرمز و پنج عدد کارت سبز داریم. این ۱۰ کارت را به تصادف در ۱۰ پاکت قرار می دهیم. احتمال این که دقیقا یک کارت قرمز در پاکتی قرمز قرار گیرد را حساب کنید. -۴
پاسخ هر چند کارت ها و پاکت های همرنگ تمایزناپذیرند اما برای جلوگیری از هرگونه اشتباه احتمالی در شمارش حالت ها و تعیین هم شانس بودن برا مدها می توان کارت ها را با C ۱,, C ۱۰ و پاکت ها را با E ۱,, E ۱۰ نامگذاری کنیم. در این صورت به وضوح فضای نمونه ای هم شانس است و داریم (این اعداد را خودتان توجیه کنید و بنابراین Ω ۱ ۱۰!, A ۴! ۴! Pr(A ۱ A ۱ ۴! ۴! ۲ Ω ۱ ۱۰! ۲۲ ۰ ۱ یک راه حل ساده تر به این صورت می توان پیشنهاد کرد. توجه داشته باشید که اگر کارت های پاکت قرمز مشخص شوند کارت های پاکت های سبز نیز مشخص می شود. بنابراین فضای نمونه را کارت قرار داده شده در پاکت های قرمز رنگ در نظر می گیریم. پس تعداد اعضای فضای نمونه برابر با تعداد زیر مجموعه های عضوی یک مجموعه ی ۱۰ عضوی می باشد. (توجه داشته باشید که تمامی برا مدها هم احتمال می باشند. ( ۱۰ Ω ۲ پیشامد A ۲ را پیشامد مطلوب مسي له در نظر می گیریم. حال می خواهیم تعداد اعضای مجموعه ی A ۲ را محاسبه کنیم. در هر یک از برا مدهای مربوط به پیشامد A ۲ برای انتخاب کارت پاکت های قرمز باید یک کارت از بین کارت قرمز و ۴ کارت از بین کارت سبز انتخاب کنیم که تعداد حالت های ا ن برابر است با: ( ( A ۲ ۱ ۴ در نتیجه با توجه به هم احتمال بودن اعضای فضای نمونه ای داریم: Pr(A ۲ A ( ( ۲ Ω ۲ ۱ ( ۴ ۱۰ دانشجویی فضای نمونه ای Ω ۳ و پشامد مطلوب A ۳ را به صورت دیگری در نظر گرفته است و به جواب زیر رسیده است. ا یا می توان راه حل وی را توجیه کنید Pr(A ۳ A ۳ Ω ۳ ( ( ۱ ۱ ( ( ( ۰ + ( ( ۱ ۴ + + ( ۰ -